Хостинг от HOST PROM - это надежное место для Ваших проектов !

 


Образцы исследования элементарных функций, содержащихобратные тригонометрические функции

 

Примеры

Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.

   Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.

Решение: Рассмотрим 1-ю функцию

y

 

y

 
   y = arcsin(1/x)

π/2

 

-π/2

 
Д(f): | 1/x | ≤ 1 ,

   | x | ≥ 1 ,

( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )

0

1

-1

x

y

 

x

 
 

 

 

Функция нечетная

 

 

 

 ( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает напр. [0;π/2] )

 

y

 
Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-π/2; π/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда

π

 
y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)

 

Д(f): ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )

π/2

0

1

-1

 

 

 

 

 

 

Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).

π/2

 
Решение:

Д(f): [-1;1]

Четная

f(x) убывает на пр. [0;1]

-1

 

0

 
f(x) возрастает на пр. [-1;0]

1

 

x

 
 

Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x).

Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2

f(z) убывает на пр. [-1;1] от π до 0.

f(y) убывает на пр. [-1;1] от π2 до 0.

 

 

 

 

 

0

1

-1

x

 

 

 

Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1))

Решение:

Д(f): ( - ∞ ; -1 )U ( -1; 1 ) U ( 1; +∞ )

Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функциюна двух промежутках:

y

 
[ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +∞ )

 

π/2

 
X

0

< x <

1

< x <

+∞

1

 

-1

 
u=1/(x2-1)

-1

+ ∞

- ∞

0

0

 

x

 
y=arctg(u)

- π/4

π/2

- π/2

0

-π/4

 

-π/2

 

 

 

Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически  одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:

sin(arcsin(x)) = x ,                                               cos(arccos(x)) = x

(справедливо только для x є [-1;1] )

tg(arctg(x)) = x ,                                      ctg(arcctg(x)) = x

   (справедливо при любых x )

Графическое различие между функциями, заданными формулами:

 

                       y=x                                  и                                  y=sin(arcsin(x))

x

y

0

x

y

0

1

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сводка формул, получающихся в результате выполненияпростейших тригонометрических операций над аркфункциями.

 

Аргумент

 

функция

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arcctg(x)

sin

sin(arcsin(x))=x

cos

x

tg

x

1 / x

ctg

1 / x

x

Справедливость всех этих формул может быть установленапри помощи рассуждений, приведенных ниже:

1.          Т.к. cos2x + sin2x = 1 и φ = arcsin(x)

 

Перед радикалом следует взять знак “+”, т.к.дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный.

Значит, имеем

2.          Из тождества следует:

 

3.          Имеем

4.          

Ниже приведены образцы выполнения различныхпреобразований посредством выведения формул.

Пример №1. Преобразовать выражение

Решение: Применяем формулу , имеем:

Пример №2. Подобным же образом устанавливаетсясправедливость тождеств:

Пример №3. Пользуясь

Пример №4. Аналогично можно доказать следующиетождества:

Пример №5. Положив в формулах

,          и         

, получим:

,              

Пример №6. Преобразуем

Положив в формуле ,                

Получим:

  

Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга принадлежит I четверти, апотому левая часть неотрицательная.

Соотношениямежду аркфункциями

Соотношения первого рода –соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости междутригонометрическими функциями дополнительных дуг.

Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:

 

arccos(x)

 

arcsin(x)

 

 



Страниц (6):  [1] 2 3 4 5 6

 


Быстрый хостинг
Быстрый хостинг - Скорость современного online бизнеса

 

Яндекс.Метрика

Load MainLink_Second mode.Simple v3.0:
Select now URL.REQUEST_URI: webknow.ru%2Fmatematika_00001.html
Char set: data_second: Try get by Socet: webknow.ru%2Fmatematika_00001.html&d=1
					  

Google

На главную Авиация и космонавтика Административное право
Арбитражный процесс Архитектура Астрология
Астрономия Банковское дело Безопасность жизнедеятельности
Биографии Биология Биология и химия
Ботаника и сельское хозяйство Бухгалтерский учет и аудит Валютные отношения
Ветеринария Военная кафедра География
Геодезия Геология Геополитика
Государство и право Гражданское право и процесс Делопроизводство
Деньги и кредит Естествознание Журналистика
Зоология Издательское дело и полиграфия Инвестиции
Иностранный язык Информатика, программирование Исторические личности
История История техники Кибернетика
Коммуникации и связь Косметология Краткое содержание произведений
Криминалистика Криптология Кулинария
Культура и искусство Культурология Литература и русский язык
Литература зарубежная Логика Логистика
Маркетинг Математика Медицина, здоровье
Международное публичное право Частное право Отношения
Менеджмент Металлургия Москвоведение
Музыка Муниципальное право Налоги
Наука и техника Новейшая история Разное
Педагогика Политология Право
Предпринимательство Промышленность Психология
Психология, педагогика Радиоэлектроника Реклама
Религия и мифология Риторика Сексология
Социология Статистика Страхование
Строительство Схемотехника Таможенная система
Теория государства и права Теория организации Теплотехника
Технология Транспорт Трудовое право
Туризм Уголовное право и процесс Управление
Физика Физкультура и спорт Философия
Финансы Химия Хозяйственное право
Цифровые устройства Экологическое право Экология
Экономика Экономико-математическое моделирование Экономическая география
Экономическая теория Этика Юриспруденция
Языковедение Языкознание, филология

design by BINAR Design