Хостинг от HOST PROM - это надежное место для Ваших проектов !

 


 

 

 

1.    Постановка задачи

 

1.1           Физическая модель

 

В ряде практических задач возникает необходимость исследования распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня, помещённого в высокотемпературный поток жидкости или газа. Это исследование может проводиться либо на основе обработки эксперимента (измерение температуры в различных точках стержня), либо путём анализа соответствующей математической модели.

В настоящей работе используются оба подхода.

 

Тонкий цилиндрический стержень помещён в тепловой поток с постоянной температурой q, на концах стержня поддерживается постоянная температура q0.

 

                                     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2 Математическая модель

 

Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержня с началом в середине стержня. Будем рассматривать задачу (распределения температуры по стержню) мосле момента установления режима Т0.

Первая математическаямодель использует экспериментальные данные, при этом измеряют температуру Ui стержня в нескольких точках стержня с координатами xi. Результаты измерения Ui рассматривают как функциюрегрессии и получают статистики. Учитывая чётность U(x)можно искать еёв виде многочлена по чётным степеням x (ограничимся 4-ой степеньюэтого многочлена).

                                        (1.1)

Задача сводится к отысканиюоценок неизвестных параметров, т.е. коэффициентов a0, a1 и a2 , например, методом наименьших квадратов.

Вторая математическаямодель, также использующая экспериментальные данные, состоит в примененииинтерполяционных формул и может употребляться, если погрешность измеренийтемпературы Ui пренебрежимо мала, т.е. можно считать, что U(xi)=Ui

Третья математическаямодель основана на использовании закона теплофизики. Можно доказать, чтоискомая функция U(x) имеет вид:

                                        (1.2)

где l - коэффициент теплопроводности, a- коэффициенттеплоотдачи, D – диаметр стержня, q - температура потока, в который помещён стержень.

Ищем U(x) какрешение краевой задачи для уравнения (1.2) с граничными условиями:

                                        (1.3)

на отрезке [-L|/2;L/2], где L – длина стержня, q0- постояннаятемпература, поддерживаемая на концах стержня.

Коэффициент теплопроводностиl зависит от температуры:

                                        (1.4)

где l0 - начальное значение коэффициента теплопроводности, sl - вспомогательный коэффициент.

Коэффициенттеплоотдачи a вычисляют по формуле:

                                        (1.5)

т.е. как среднеезначение функции

за некоторый отрезок времениот 0 до Т, здесь a0 - значение a при t стремящемся к бесконечности, b – известныйкоэффициент.

Время Т0,по истечении которого распределение температуры в стержне можно считатьустановившимся определяется по формуле:

                                        (1.6)

где а – коэффициент температуропроводности, x - наименьший положительный корень уравнения:

                                        (1.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание курсовой работы

Вариант № 136

Исходные данные:

1.     L = 0.0386 м

2.     D = 0,00386 м

3.     q = 740 оС

4.     q0 = 74 оС

5.     l0 = 141,85 (Вт/м*К)

6.     sl = 2,703*10-4

7.     B = 6,789*10-7

8.     a0 = 3,383*102 (Вт/м2*К)

9.     T = 218 оС

10.   А = 3,043*10-5 (м2/с)

11

X, м

U,oC

0

353

0,00386

343

0,00772

313

0,01158

261

0,01544

184

0,01930

74

 

 

 

 

 

 

2. Обработка результатов эксперимента.

 

2.1 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.

 

Ищем функцию регрессиив виде (1.1). Оценки коэффициентов находим с помощью МНК, при этом наименьшимибудут оценки, обеспечивающие минимум квадратов отклонений оценочной функциирегрессии от экспериментальных значений температуры; суммирование ведут по всемэкспериментальным точкам, т.е. минимум величины S:

                                        (2.1)

В нашем случаенеобходимым т достаточным условием минимума S будут:

Где k = 0, 1, 2.                 (2,2)

 

Из уравнений (2.1) и(2.2) получаем:

                                        (2.3)

Сумма

Система (2.3) приметвид:

                                        (2.4)

В результатевычислений получаем Sk и Vj. Обозначим матрицукоэффициентов уравнения (2.4) через “p”:

Методом Гаусса решаемсистему (2.4) и найдём обратную матрицу p-1. В результате получаем:

Подставляя в (2.1)найденные значения оценок коэффициентов ак, находим минимальноезначение суммы S:

                               Smin=0.7597

При построении доверительных интервалов для оценоккоэффициентов определяем предварительно точечные оценки.

Предполагается, чтоэкспериментальные значения xi измерены с пренебрежимомалыми ошибками, а случайные ошибки измерения величины Uнезависимы и распределены понормальному закону с постоянной дисперсией s2, которая неизвестна. Для имеющихся измерений температуры Ui неизвестная дисперсия оценивается по формуле:

Где r – числостепеней свободы системы, равное разности между количеством экспериментальныхточек и количеством вычисляемых оценок коэффициентов, т.е. r = 3.

Оценка корреляционнойматрицы имеет вид:

 

Оценки дисперсийпараметров оценок коэффициентов найдём по формулам:

 Где Sk – минор соответствующего диагонального элемента матрицы нормальнойсистемы;

D- главныйопределитель нормальной системы.

В нашем случае:

S0=3.5438 10-22

S1=-8.9667 10-14

S2=6.3247 10-7

Откуда:

Найденные оценкикоэффициентов распределены по нормальному закону, т.к. линейно зависят отлинейно распределённых экспериментальных данных Ui.

Известно, что этиоценки несмещённые и эффективные. Тогда случайные величины:

 Имеют распределения Стьюдента, а r = 3.

Выбираем доверительнуювероятность b=0,9 и по таблице Стьюдентанаходим критическое значение gравное 2,35, удовлетворяющее равенству:

Доверительныеинтервалы для коэффициентов:

                                        (2.4*)

В нашем случае примутвид:

 

2.2 Проверка статистической гипотезы об адекватности модели задачирегрессии.

 

Имеется выборка объёмаn экспериментальных значений (xi;Ui).Предполагаем, что ошибки измерения xi пренебрежимо малы, а случайные ошибки измерениятемператур Ui подчинены нормальному закону с постояннойдисперсией s2. Мы выбрали функцию регрессиив виде:

Выясним, нельзя либыло ограничиться многочленом второго порядка, т.е. функцией вида:

                                        (2.5)

Cпомощью МНК можно найти оценки этих функций и несмещённый оценки дисперсииотдельного измерения Ui для этих случаев:

Где r1 = 4 (количество точек – 6,параметра – 2).

Нормальная системауравнений для определения новых оценок коэффициентов функции (2.5)с помощью МНКимеет вид:

                                        (2.7)

Решая эту системуметодом Гаусса, получим:

                                                                               (2.8)

Чем лучше функциярегрессии описывает эксперимент, тем меньше для неё должна быть оценкадисперсии отдельного измерения Ui, т.к. при плохом выборе функции в дисперсию войдутсвязанные с этим выбором дополнительные погрешности. Поэтому для того, чтобысделать выбор между функциями U(x) и U(1)(x)нужно проверитьзначимость различия между соответствующими оценками дисперсии, т.е. проверитьгипотезу:

Н0 – альтернативнаягипотеза

 

Т.е. проверить, значимо ли уменьшение дисперсии приувеличении степени многочлена.

В качествестатического критерия рассмотрим случайную величину, равную:

                                        (2.9)

имеющую распределение Фишера с(r ; r1) степенями свободы. Выбираем уровень распределения Фишера, находимкритическое значение F*a, удовлетворяющее равенству: p(F>F*a)=a

В нашем случае F=349.02, а F*a=10,13.

Если бы выполнилосьпрактически невозможное соотношение F>Fa, имевшее вероятность 0,01, то гипотезу Н0пришлось бы отклонить. Но в нашем случае можно ограничиться многочленом

, коэффициенты в котором неодинаковы.

 

3. Нахождение коэффициента теплопроводности a.

 

 Коэффициент a вычислим по формуле (1.5), обозначим:

                                        (3.1)

Определим допустимуюабсолютную погрешность величины интеграла I,исходя из требования, чтобы относительная погрешность вычисления a не превосходила 0,1%, т.е.:

                                        (3.2)

Т.к. из (3.1)очевидно, что a>a0, то условие (3.2) заведомобудет выполнено, если:

                                        (3.3)

Т.е. в качестве предельнодопустимой абсолютной погрешности вычисления интеграла I возьмём                         d=0,001Т     (3.4)

Т=218 оС,следовательно, d=0,218 оС.

 

 

 

 

 

 

3.1 Вычисление интеграла I методом трапеции

 

 Использование теоретической оценки погрешности

 

Для обозначениятребуемой точности количества частей n, на которые нужноразбить отрезок интегрирования [0;T] определяется по формуле:

, где M2=[f”(t)], t e [0;T], f(t)=e-bt3

Учитывая формулу (3.4)получаем:

                                        (3.5)

Дифференцируя f(t), получим:

А необходимое условиеэкстремума: f”(t)-f’’’(t)=0, откуда получаем:

Далее вычисляем значения f’’(t) приt=t1, t=t2, t=0 и t=T, получаем:

f’’(t1)=1.5886 10-4

f’’(t2)=-1.6627 10-4

f’’(0)=0

f’’(T)=7.4782 10-6

Итак: M2=1,5886 10-4, откуда n=25.66; принимаем N=26.

 

Далее вычислиминтеграл I:

Погрешность вычисления a:

 

 

 

 

 

3.2 Вычисление интеграла I методом парабол

 

При расчётах будемиспользовать теоретическую оценку погрешности с помощью правила Рунге. Дляобеспечения заданной точности количество частей n, на которое следуетразделить интервал интегрирования можно определить по формуле:

, откуда:

Нахождение М4 можнопровести аналогично нахождению М2 в предыдущем пункте, но выражениедля fIV(t) имеет довольно громоздкий вид. Поэтому правило Рунге– наиболее простой способ.

Обозначим через In и I2n значение интеграла I, полученное при разбиении промежуткаинтегрирования соответственно на n и 2n интервалов. Если выполненоравенство: |I2n-In|= 15d    (*1), то |I-I2n|=d

Будем , начиная с n=2,удваивать n до тех пор, пока не начнёт выполняться неравенство(*1), тогда:

                                        (3.6)

Согласно формуле парабол(3.7):

Результаты вычислений сведёмв таблицу:

n

In

I2n

4

102.11

 

8

101.61

0.5017

По формуле (3.7) I = 101,61что в пределах погрешности совпадает со значением, полученным по методутрапеций

n=8

n=4

ti(8)

y8

ti(4)

y4

0

1

0

1

27.25

0.9864

 

 

54.5

0.8959

54.5

0.8959

81.75

0.6901

 

 

109

0.4151

109

0.4151

136.25

0.1796

 

 

163.5

0.0514

163.5

0.0514

190.75

0.0089874

 

 

218

0.00088179

218

0.00088179

 

4. Вычисление времени Т0 установления режима

 

4.1 Решение уравнения комбинированным методом

 

Время установления режима определяется по формулам (1.6) и (1.7).

Проведём сначала отделение корней. Имеем y = ctg(x) и y = Ax. Приведём уравнение к виду: A x sin(x)-cos(x) = 0. Проведём процесс отделения корня.

 

F(x)

-1

-0.6285

0.4843

x

0.01

0.05

0.1

т.е. x с [0.01;0.05]

Убедимся, что корень действительно существует и является единственным на выбранном интервале изоляции.

f(a) f(b)<0 – условие существования корня выполняется

f’(x) на [a;b] – знакопостоянна: f’(x)>0 – условие единственности также выполняется. Проведём уточнение с погрешностью  не превышающей e=10-4

Строим касательные с того конца, где f(x) f”(x)>0

f”(x)=(2A+1)cos(x) – A x sin(x). f”(x)>0 на (a;b),следовательно касательные строим справа, а хорды слева. Приближение корня пометоду касательных:

по методу хорд:

Вычисление ведём дотого момента, пока не выполнится условие:

Результаты вычисленийзаносим в таблицу:

 

n

an

bn

f(an)

f(bn)

0

0.05

0.1

-0.6285

0.4843

1

0.07824

0.08366

-0.0908

0.0394

2

0.08202

0.08207

-9.151510-4

3.712110-4

3

0.08206

0.08206

-8.466610-8

3.432110-8

 

Т0 = 72,7176секунд.

 

4.2 Решение уравнения комбинированным методом

 

Приведём f(x) = 0 к виду x = j(x). Для этого умножим обе части на произвольное число m, неравное нулю, и добавим к обеим частям х:

X = x - m f(x)

j(x) = x - m A x sin(x) + m cos(x)

В качестве m возьмём:

где М = max [f’(x)] на [a;b], а m = min [f’(x)] на [a’b]



Страниц (2):  [1] 2

 


Быстрый хостинг
Быстрый хостинг - Скорость современного online бизнеса

 

Яндекс.Метрика

Load MainLink_Second mode.Simple v3.0:
Select now URL.REQUEST_URI: webknow.ru%2Fmatematika_00006.html
Char set: data_second: Try get by Socet: webknow.ru%2Fmatematika_00006.html&d=1
					  

Google

На главную Авиация и космонавтика Административное право
Арбитражный процесс Архитектура Астрология
Астрономия Банковское дело Безопасность жизнедеятельности
Биографии Биология Биология и химия
Ботаника и сельское хозяйство Бухгалтерский учет и аудит Валютные отношения
Ветеринария Военная кафедра География
Геодезия Геология Геополитика
Государство и право Гражданское право и процесс Делопроизводство
Деньги и кредит Естествознание Журналистика
Зоология Издательское дело и полиграфия Инвестиции
Иностранный язык Информатика, программирование Исторические личности
История История техники Кибернетика
Коммуникации и связь Косметология Краткое содержание произведений
Криминалистика Криптология Кулинария
Культура и искусство Культурология Литература и русский язык
Литература зарубежная Логика Логистика
Маркетинг Математика Медицина, здоровье
Международное публичное право Частное право Отношения
Менеджмент Металлургия Москвоведение
Музыка Муниципальное право Налоги
Наука и техника Новейшая история Разное
Педагогика Политология Право
Предпринимательство Промышленность Психология
Психология, педагогика Радиоэлектроника Реклама
Религия и мифология Риторика Сексология
Социология Статистика Страхование
Строительство Схемотехника Таможенная система
Теория государства и права Теория организации Теплотехника
Технология Транспорт Трудовое право
Туризм Уголовное право и процесс Управление
Физика Физкультура и спорт Философия
Финансы Химия Хозяйственное право
Цифровые устройства Экологическое право Экология
Экономика Экономико-математическое моделирование Экономическая география
Экономическая теория Этика Юриспруденция
Языковедение Языкознание, филология

design by BINAR Design