Хостинг от HOST PROM - это надежное место для Ваших проектов !

 


Механические колебания в дифференциальных уравнениях

Реферат Выполнил: студент гр. МХТ-02 Казаков Василий Васильевич

Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова

Магнитогорск 2003

Колебаниями  называются процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например качания маятника часов, переменный электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические колебания.

Гармонические колебания.

Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса).

Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в естественном состоянии равна . Груз слегка оттянут книзу и затем отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха.

М

Р

х

l

lст

х

О

Решение

Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения пружины.

О

Подпись: ОПусть l означает удлинение пружины  в данный момент, а lст—статическое удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения равновесия. Тогда l=lст+х, или l-lст=х.

Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F=ma,   где m=P/g—масса груза а—ускорение движения и F—равнодей-ствующая приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы натяжения пружины и силы тяжести.

По закону Гука сила натяжения пружины  пропорциональна её удлинению: Fупр=-сl, где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый жесткостью пружины.

Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины уравновешивается весом тела, то P= сlст. Подставим в дифференциальное уравнение выражение Р и заменим  l-lст через х, получится уравнение в виде:

или, обозначив с/m через k2,

                                                  (1)

Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:

имеет мнимые корни , соответственно этому общее решение

Для выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой форме, введя новые произвольные постоянные. Умножив и разделив на , получим:

Если положить

   

то

                            (2)

График гармонических колебаний имеет вид:

\s  

Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения равновесия.

Величину А называют амплитудой колебания, а аргумент  — фазой колебания. Значение фазы при t=o т.e.  величина   , называется начальной фазой колебания. Величина  есть частота колебания. Период колебания   и частота k зависят только от жесткости пружины и от массы системы. Так как с = Р/lст = mg/lст, то для периода можно получить также формулу:

Скорость движения груза получается дифференцированием решения по t:



Страниц (6):  [1] 2 3 4 5 6

 


Быстрый хостинг
Быстрый хостинг - Скорость современного online бизнеса

 

Яндекс.Метрика

Load MainLink_Second mode.Simple v3.0:
Select now URL.REQUEST_URI: webknow.ru%2Fmatematika_00025.html
Char set: data_second: Try get by Socet: webknow.ru%2Fmatematika_00025.html&d=1
					  

Google

На главную Авиация и космонавтика Административное право
Арбитражный процесс Архитектура Астрология
Астрономия Банковское дело Безопасность жизнедеятельности
Биографии Биология Биология и химия
Ботаника и сельское хозяйство Бухгалтерский учет и аудит Валютные отношения
Ветеринария Военная кафедра География
Геодезия Геология Геополитика
Государство и право Гражданское право и процесс Делопроизводство
Деньги и кредит Естествознание Журналистика
Зоология Издательское дело и полиграфия Инвестиции
Иностранный язык Информатика, программирование Исторические личности
История История техники Кибернетика
Коммуникации и связь Косметология Краткое содержание произведений
Криминалистика Криптология Кулинария
Культура и искусство Культурология Литература и русский язык
Литература зарубежная Логика Логистика
Маркетинг Математика Медицина, здоровье
Международное публичное право Частное право Отношения
Менеджмент Металлургия Москвоведение
Музыка Муниципальное право Налоги
Наука и техника Новейшая история Разное
Педагогика Политология Право
Предпринимательство Промышленность Психология
Психология, педагогика Радиоэлектроника Реклама
Религия и мифология Риторика Сексология
Социология Статистика Страхование
Строительство Схемотехника Таможенная система
Теория государства и права Теория организации Теплотехника
Технология Транспорт Трудовое право
Туризм Уголовное право и процесс Управление
Физика Физкультура и спорт Философия
Финансы Химия Хозяйственное право
Цифровые устройства Экологическое право Экология
Экономика Экономико-математическое моделирование Экономическая география
Экономическая теория Этика Юриспруденция
Языковедение Языкознание, филология

design by BINAR Design